#4 Sampling and Reconstruction(1)

1. Sampling

연속적인 신호를 일정 간격으로 이산적을 점들로 변환하는 과정이다.

1.1. point sampling (discrete domain)

Point sampling은 신호를 일정 시간 각격으로 측정하여 이산적인 값으로 변환하는 방법이다.

Point sampling은 데이터 수집 및 처리에 일반적으로 사용된다.

1.2. impulse sampling (continuous domain)

Impulse sampling은 연속적인 신호를 디렉 델타 함수를 사용하여 샘플링하는 방식이다

Impulse smapling은 이론적 분석 및 신호 복원에 중점을 둔다.

 

2. 시간 축의 샘플링이 가지는 의미

• 시간 축의 샘플링은 주파수 축에서 주기성을 가진다.
• Duality: 시간 축에서 주기적인 신호 <->주파수 축에서 이산적인 신호, 시간 축에서 이산적인 신호 <-> 주파수 축에서 주기적인 신호
• 주파수축은 연속: DTFT 식을 보면 알 수 있듯이 w축은 연속적이다. 푸리에 변환값을 구하는 과정이 Discrete한 거지, 푸리에 변환값의 x축은 연속적인 숫자 아무거나 넣어도 값을 구할 수 있으므로 w축은 연속적이다.
• 1/T 스케일링: 이산적인 신호를 푸리에 변환하면 1/T 즉, f_sam 만큼의 크기가 곱해지는 scaling을 한다.

2.1. impulse training을 통한 DTFT 식 유도

• 푸리에 변환은 x(t)와 해당 주파수의 복소지수함수의 내적이다. => x(t)랑 복소지수함수도 sampling 한다. t = nT_s

- 예시: 각주파수 축에서 반복되는 걸 확인해보자!

2.2. 시간 축의 샘플링이 가지는 의미: 주파수 축에서의 주기성

시간 축의 샘플링은 주파수 축에서의 주기성을 의미한다.

 

즉, 이산 신호는 특정 주기로 주파수 성분이 반복되어 나타난다. 이로 인해 주파수 축에서의 성분들은 주기적으로 배열되며, 이는 샘플링 주기 Ts​에 따라 달라진다.

 

- 신호 축에서의 곱셈은 주파수 축에서의 컨볼루션과 같음을 통한 증명

2.3. 이를 세타 도메인으로 바꾸면 값이 스케일링 된다.

각 주파수축의 값들을 세타 축으로 옮기면 반복되는 주기가 2파이로 고정된다.

w는 2파이/Ts마다 평행이동, theta는 2파이 마다 평행이동함을 통해 주기가 바뀐 것을 알 수 있다.