#1 Introduction to Digital Signal Processing

1. 왜 신호 처리를 왜 알아야 할까?

현대 사회는 디지털화된 세상이다. 우리 주변의 대부분의 신호는 연속적인 형태(continuous signal)로 존재하지만, 컴퓨터와 같은 디지털 기기에서는 이를 처리할 수 없다.

 

따라서 이 신호를 디지털 신호(discrete signal)로 변환하는 과정이 필요하다.

 

 

2. 디지털 신호란 도대체 뭘까?

디지털 신호는 연속적인 아날로그 신호를 샘플링(sampling)하고 양자화(quantization)하여 얻어진다. 그로 인해 이산적인 값들로 구성되어 있어 컴퓨터나 디지털 기기에서 처리할 수 있다.

 

- Sampling(샘플링): 연속적인 아날로그 신호를 일정한 간격으로 값을 추출하는 것이다. 샘플링 주기가 짧을수록 원본 신호를 더 정확하게 표현할 수 있다.

 

- Quantization(양자화): 샘플링한 값을 근사치로 변환하여 이산적인 값으로 표현하는 것이다. 양자화 수준이 높을수록 원본신호를 더 정밀하게 표현할 수 있다.

 

 

3. DSP란?

Digital Signal Processing은 아날라고 신호를 디지털 형태로 변환하여 다양한 연산을 통해 신호를 분석, 변환, 필터링, 압축 및 복구하는 기술이다.

- 신호 변환

• 아날로그 - 디지털 변환(ADC): 아날로그 신호를 디지털 신호로 변환하는 과정으로 신호의 샘플링과 양자화 과정을 포함한다.
• 디지털 - 아날로그 변환(DAC): 처리된 디지털 신호를 다시 아날로그 신호로 변환하는 과정이다. 이는 디지털 신호 처리의 결과를 실제로 사용할 수 있는 단계이다.

- 필터링

• 디지털 필터를 통해 특정 주파수 대역의 신호를 제거하거나 통과시킨다. 잡음 제거 및 원하는 신호 강화가 예시이다.

- 변환

• FFT(Fast Fourier Transform): 시간 도메인의 신호를 주파수 도메인으로 변환하여 신호의 주파수 성분을 분석한다.

- 압축 및 복구

• 디지털 신호를 효육적으로 저장허거나 전송하기 위해 데이터를 압축한다. MP3, JPEG와 같은 파일 형식을 DSP 기술을 활용하여 데이터 크기를 줄이는 것이 그 예시이다. 복구는 압축된 데이터를 원래의 형태로 복원하는 것이다.

 

 

4. 앞으로 공부할 내용에 대한 Notation을 정리해보자.

* Notation *

일반적으로 어떤 개념이나 정보를 표기하기 위한 기호나 방식이다. 수학, 음악, 과학 등 다양한 분야에서 사용되며, 특정한 규칙이나 체계에 따라 의미를 전달한다. 예를 들어, 수학에서는 수식을 표현하는 기호 체계를 의미한다.

 

- Signal notations

• R: real line(실수) / C: complex plain(복소 평면) / Z: a set of integers(정수 집합)

실수는 1차원 직선 산의 모든 연속적인 점을 점들의 집합이므로 line으로 표현된다.

 

복소수는 실수화 허수 두 부분으로 구성되어 2차원 평면에 표현되므로plane으로 불린다.

 

정수는 연속된 값들이 아닌, discrete한 값들로 이루어진 집합이다.

 

• Continuous-time signal (round parentheses, 둥근괄호)

ex) x(t), y(t)

 

• Discrete-time signal [square brackets, 대괄호]

ex) x[t], y[t]

 

• Periodic extension of x(t), which is defined on the interval [0, T] (주기 T를 가진 신호 x(t)의 주기적 확장)

 

* mod *

modulus 또는 modulo의 약자로, 두수를 나눈 나머지를 구하는 연산을 의미한다. 주기적 확장에서 t mod T는 신호가 주기 T로 반복될 때, 시간 t가 현재 주기에서 어디에 위치하는지를 나타낸다.

 

• Periodic extension of x[t], which is defined on the interval [0, T] (주기 T를 가진 신호 x[t]의 주기적 확장)

 

 

- Convolution notations

컨볼루션은 신호와 필터 간의 내적은 기반으로 신호 처리에서 필터의 작용을 수학적으로 설명하는 강력한 도구이다.

 

수학적으로는 내적(Inner Product)의 의미를 가지며, 물리적으로는 필터의 성분이 신호에 어떤 영향을 미치는지 분석할 수 있다.

 

• Convolution of continuous-time signals

 

• Convolution of discrete-time signals

 

• Circular convolution(순환 컨볼루션) of finite-duration, discrete signals {x[n], y[n], 0 ≤ n ≤ N-1}

이산시간 신호에서 주기적(순환적) 신호를 처리할 때 사용되는 컨볼루션 기법이다.

 

일반적인 컨볼루션은 두 신호의 합성 결과를 시간 축 전체에 걸쳐 계산한다. 하지만 주기적인 신호를 다루는 경우, 신호의 주기성을 유지하면서 컨볼루션을 수행해야 할 때 순환 컨볼루션이 사용된다.

 

선형 컨볼루션은 신호의 끝부분과 시작부분을 연결하지 않고 독립적으로 처리하며 순환 컨볼루션은 신호의 시작과 끝을 연결하여 계산하므로 주기적인 성질을 유지할 수 있다.

 

순환 컨볼루션은 특히 디지털 필터링과 FFT(고속 푸리에 변환)를 이용한 신호 처리에서 중요하다.

 

- Transform notations

• Fourier series(푸리에 급수)

푸리에 급수는 주기 함수 x(t)를 사인과 코사인 같은 삼각함수들의 합으로 분해하는 방법이다. 임의의 주기 함수가 여러 주파수를 가진 신호들의 합으로 표현될 수 있음을 의미한다.

X[k]: 주기 함수 x(t)의 푸리에 계수를 나타내며, 주파수 k에 해당하는 성분의 강도를 나타낸다.

e^(−jT2πk​): 복소 지수 함수로, 오일러 공식에 따라 복소 평면에서 회전을 의미하며 사인과 코사인의 합으로 표현된다.

∫​x(t)⋅⋅⋅dt: 주기 T 동안의 신호 x(t)에 대한 적분이다. 

 

푸리에 급수는 신호 x(t)를 다음과 같이 표현한다.

주기 신호 x(t)가 여러 주파수 성분으로 이루어져 있으며, 각 주파수 성분을 푸리에 계수 X[k]로 나타낼 수 있다는 것을 의미한다.

 

* 푸리에 급수에서 주기 T로 나누는 이유 *

푸리에 급수에서 푸리에 계수를 구하기 위해 주기 T로 나누는 것은 신호가 주기 동안 얼마나 기여하는지를 평균화하기 위해서이다.

 

신호가 주기적으로 반복되기 때문에, 푸리에 변환을 수행하는 동안 적분값이 단순히 신호의 주기 길이에 따라 달라질 수 있다.

 

만약 주기가 긴 신호와 짧은 신호를 비교할 때, 주기로 나누지 않으면 주기가 긴 신호의 적분 값이 더 크게 나타난다. 하지만 실제로 중요한 것은 신호가 한 주기 동안 얼마나 강하게 진동하는지이다.

 

그러므로 주기 T로 나누어 시간 왜곡을 방지하고 신호의 크기를 시간에 독립적으로 계산할 수 있다.

 

 

• Laplace Transform (라플라스 변환)

라플라스 변환은 시간 영역 함수 x(t)를 복소수 도메인으로 변환하는 도구이다.

이때, 라플라스 변환의 변수 s는 일반적으로 s = σ + jω로 나타나며, σ는 실수 성분, jω는 허수 성분이다. 

 

라플라스 변환은 시간 도메인의 미분 방정식을 복소수 도메인에서 대수 방정식으로 바꿀 수 있어 시스템 해석 및 제어 이론에서 매우 유용하다.

 

 

• Fourier transform (푸리에 변환) && its inverse transform

주기적인 신호나 함수의 주파수 성분을 분석하는 데 사용한다.

함수를 오일러 공식을 통해 복소 평면 상에 회전하는 벡터로 표현했으며 그 복소 함수의 적분값을 나타낸 값으로 주기에 따라 값이 커질 수 있다.

 

푸리에 변환된 결과를 다시 시간 영역으로 변환하기 위한 역푸리에 변환은 다음과 같이 정의된다.

푸리에 변환된 값에 복소수 지수 함수로 재구성한 후, 그 성분들을 적분을 통해 합산하여 시간 영역의 신호를 복원하는 것이다.

 

• 라플라스 변환과 푸리에 변환의 관계

이 식은 푸리에 변환이 라플라스 변환의 특수한 경우임을 보여준다. 

 

라플라스 변환의 복소수 변수 s=σ+jω에서 σ = 0일 때, 즉 s=jω일 때 라플라스 변환이 푸리에 변환과 동일해진다.

 

* 라플라스 변환에서 σ는 푸리에 변환의 한계를 극복하는 중요한 역할을 한다. *

푸리에 변환은 신호를 주파수 도메인에서 분석하는 강력한 도구이지만, 감쇠하거나 발산하는 신호에는 적용할 수 없다. 이는 푸리에 변환이 순수 허수 jω로만 정의되기 때문이다.

반면, 라플라스 변환은 실수 성분 σ를 포함하여 신호의 감쇠나 발산을 분석할 수 있다. 이는 신호가 시간이 지남에 따라 커지거나 작아지는 경우에도 적용할 수 있으며, 지수 함수의 형태로 신호의 성장을 제어할 수 있다.

 

이로 인해 라플라스 변환은 푸리에 변환보다 더 넓은 적용 범위를 가진다.

 

 

• Z-transform (z-변환)

z-변환은 이산 시간 신호를 주파수 영역으로 변환하는 수학적 도구이다. z-변환은 연속 시간 신호를 다루는 라플라스 변환과 유사하게 이산 시간 신호를 분석하는 데 사용된다.

 

디지털 신호 처리에서 시스템은 주로 차분 방정식으로 표현된다. z-변환을 사용하면 차분 방정식을 간단한 대수 방정식으로 변환하여 시스템의 안정성, 주파수 응답, 전달 함수 등을 분석할 수 있다.

 

여기서 z는 복소수이고 보통 극좌표 형식

로 표현된다.

 

• Discrete-Time Fourier Transform, DTFT (이산 푸리에 변환) && its inverse transform

이산 신호를 주파수 도메인으로 변환하는 또 다른 방법이다. 이 변환은 신호의 주파수 성분을 분석하며, θ는 연속적인 주파수 변수를 나타낸다.

푸리에 변환읜 역변환은 이와 같이 정의되며, 이를 통해 주파수 영역에서 얻은 푸리에 변환 데이터를 다시 시간 여영ㄱ의 이산 신호로 복원할 수 있다.

 

• z-변환과 푸리에 변환의 관계

z-변환은 보다 일반적인 형태의 변환으로 복소수 도메인에서 신호를 표현한다. 푸리에 변환은 z-변환에서 복소수 z를 단위 원으로 제한한 경우 즉, z= e^(jω)로 두었을 때 나타나는 주파수 영역 변환이다.

이 관계는 z-변환이 푸리에 변환보다 더 일반적임을 의미한다.

 

 

• Discrete Fourier Transform, DFT (이산 푸리에 변환)

CTFT(연속 푸리에 변환)에서 DTFT로 넘어갈 때는 시간에 대한 샘플링 개념을 적용해서 가능하고, DTFT에서 DFT로 넘어가는 것은 주파수에 대한 샘플링 개념을 추가로 적용해서 가능하기 때문이다.

 

즉, DTFT는 시간 도메인이 샘플링, 주파수 도메인은 연속, DFT는 시간 도메인, 주파수 도메인 모두 불연속이다.

 

• 역 이산 푸리에 변환 (IDFT)

역변환을 통해 다시 시간 도메인으로 변환하는 방법이다.