#18 Introduction to Digital Filters(1) - Filter Specification

1. Digital FIiltering

1.1. Filtering이란?

필터링은 주어진 입력 신호의 주파수 성분을 변화시켜 출력 신호를 조정하는 과정이다. 필터는 전달 함수를 통해 정의되며 이 전달함수는 설계자가 직접 정의하거나 이미 존재하는 시스템을 분석하여 유도될 수 있다.

H(z)=X(z)/Y(z)​

1.2. Filtering의 관점: 설계와 해석

1.2.1. 설계 중심 관점

설계자가 원하는 주파수 대역의 출력 신호를 얻기 위해 전달 함수를 직접 정의한다.

 

예를 들어 고주파를 억제하고 저주파를 통과시키는 필터인 LPF가 있다.

H(z)=(1−α)/(1- αz^(-1))

설계된 전달함수에 대해 입력과 출력의 관계가 정의된다.

1.2.2. 해석 중심 관점

시스템의 특성을 이해하거나 모델링하기 위해 이미 존재하는 시스템이나 자연적 신호를 분석하여 전달 함수를 유도하는 과정이다. 

 

델타 함수 δ[n]를 사용하여 출력 응답을 분석하는 방법이 있다.

 

1.3. Digital Filter 설계의 두 가지 유형: IIR, FIR

1. IIR (Infinite Impulse Response): 출력이 과거 출력(피드백)과 현재 입력에 영향을 받으며 임펄스 응답이 무한히 지속되는 필터이다. 효율적이고 안정성 관리가 필요하다. ( H(z)의 분모가 1이 아닌 다른 값을 가진다.)
2. FIR (Finite Impulse Response): 출력이 현재와 과거 입력에만 의존하며 임펄스 응답이 유한한 필터이다. 안정적이이다. H(z)의 분모는 항상 1이다.

 

2. Filter Specification: 필터의 특성을 정의한 기준

필터 설계에 필요한 주요 요소들에 대해 알아보자.

Frequency Bands (주파수 대역)

1. 통과대역(Passband): 신호를 통과시키는 주파수 범위
2. 저지대역(Stopband): 신호를 억제하는 주파수 범위
3. 전이대역(Transition Band): Passband와 Stopband 사이의 전환 구간

 Cutoff Frequency (컷오프 주파수)

Passband와 Stopband의 경계를 정의하는 주파수이다.

Phase Response (위상 특성)

필터가 위상을 어떻게 변화시키는지 정의한다.

Ripple (리플)

Passband에서 Gain이 허용되는 변동량과 Stopband에서 감쇠가 허용되는 범위이다.

2.1. Low-pass Filter: LPF

2.1.1. Magnitude 영역에서의 응답

1. Passband: 낮은 주파수 성분이 거의 그대로 통과되는 영역으로 Ripple이 존재한다. 단위는 dB로 측정되며 Passband Ripple로 표현된다.
2. Stopband: 높은 주파수 성분이 억제되는 영역이다. Ripple이 완전히 0이 되지 않으며 이를 Stopband Ripple로 표현한다.
3. Transition Band: Passband와 Stopband 사이의 경계 영역이다. 이 영역의 경사는 필터의 차수와 설계 방법에 따라 달라진다.

2.1.2. dB로 Ripple 측정하기

Ap​=max{ 20log10​(1+Δup​), -20log10​(1−Δdown​) }

 

Δup​는 최대 상승 리플 Δdown​는 최대 하강 리플을 나타낸다.

2.1.3. IIR과 FIR 비교

1. IIR 필터: Ripple이 비대칭적이다. 상승 ripple은 0이고 하강 ripple만 존재한다.\
2. FIR 필터: Ripple이 대칭적이고 일정한 크기로 나타난다.

2.2. High-pass Filter

HPF는 LPF와 비슷한 특성을 가진다. Passband와 Stopband 영역에서 Ripple이 발생하며 Transition Band가 존재한다.

 

하지만 High-pass Filter의 경우 특성상 DC 성분(0 Hz)은 통과하지 못한다. 즉, 입력 신호의 DC 성분은 차단된다.

2.3. Band-pass Filter

Band-pass Filter는 특정 주파수 범위만 통과시키는 필터로 LPF와 HPF의 특성을 결합한 형태이다. 주로 통신 시스템에서 사용되며 예시로 BPSK (Binary Phase Shift Keying) 통신 시스템이 있다.

• BPSK Communication Systems: Band-pass Filter는 특정 주파수 범위의 신호를 필터링하여 필요한 신호를 추출한다.
• 5개의 채널이 있고 대역폭은 4 kHz인 상황에서 ADC(Analog-to-Digital Converter)는 6 dB 손실을 가지며 해상도(resolution)는 2의 8승(256 단계) 동적 범위(dynamic range)는 2의 12승(4096 단계)입니다.

2.4. Band-stop Filter

Band-stop Filter는 특정 주파수 대역을 차단하는 필터이다. 이 필터는 Band-pass Filter와 반대의 기능을 하며 설정된 주파수 범위 내의 신호를 차단하고 나머지 신호는 통과시킨다.

 

3. Applications in image processing

이미지를 변환할 때 이미지가 rectangle일 경우 주파수 영역에서 그 결과는 십자 모양의 패턴을 나타낸다. 이 십자 모양은 주파수 성분이 x축과 y축으로 sinc function을 나타낸다.

3.1. Low-pass Filter (LPF) 적용

1. 주파수 영역: LPF를 적용하면 주파수 이미지에서 중앙 부분만 유지된다. 저주파 성분이 통과하고 고주파 성분은 억제되기 때문에 이미지의 원본에서는 세부적인 고주파 부분이 제거되고 부드러운 이미지가 보이게 된다.
2. 원본 이미지: LPF를 적용한 후 원본 이미지에서는 네모 모양만 보이게 된다. 고주파가 제거되었기 때문에 이미지의 세부 정보가 사라지고 모양이 둥글고 부드럽게 보인다.

3.2. High-pass Filter (HPF) 적용

1. 주파수 영역: HPF를 적용하면 주파수 이미지에서 메인 로브(main-lobe) 부분이 보이지 않게 된다. 저주파 성분이 제거되며 고주파 성분이 강조되기 때문에 이미지의 세부적인 특징이 더욱 뚜렷하게 드러난다.
2. 원본 이미지: HPF를 적용한 후 원본 이미지에서는 네모 모양이 아니라 그 주변 부분이 강조되며 이미지가 선명하고 디테일이 보이게 된다.

3.3. Band-pass Filter (BPF) 적용

1. 주파수 영역: BPF를 적용하면 특정 주파수 대역만 통과시키므로 주파수 이미지에서는 특정 영역만 보인다. 주파수 영역에서 특정 주파수 대역만 선택적으로 통과하고 나머지 주파수는 차단된다.
2. 원본 이미지: 원본 이미지에서는 대역 필터링을 거쳐 특정 주파수 대역에 해당하는 부분만 강조되며 주파수 영역의 일부만을 유지한 이미지를 통해 더 구체적이고 특정 특징이 두드러지게 된다.