carrier 즉, 반도체 물질에서 전하를 운반하는 입자이다. 이는 electron과 hole을 포함한다. 반도체 물질 내에서 carrier의 속도를 알아보자.
carrier의 운동은 여러 가지 현상에 의해 영향을 받으며 주로 drift, diffusion, recombination/generation이라는 네 가지 개념을 통해 설명할 수 있다. 일단 drift에 대해 알아보고 그 전에 전류에 대해 알아보자.
1. 전류란?
전류(Current)는 시간당 변하는 전하량의 양을 의미한다. 즉, 단위 시간당 이동하는 전하의 양으로 정의된다.
2. 외부의 자극이 없을 때 carrier가 가지는 Thermal Motion
- Thermal Motion이란?
Thermal Motion은 물질 내 입자들이 온도에 의해 무작위로 운동하는 현상이다. 이는 온도가 높을수록 입자들이 더 활발하게 움직이며 이 운동은 입자들의 운동 에너지를 구성하며, 평균 운동 에너지는 입자들의 열 운동에 따른 에너지의 평균값을 나타낸다.
- Thermal Motion의 특징
- 속도
이상 기체에서 입자의 평균 운동 에너지는 기체의 절대 온도에 비례한다. 또한 운동에너지는 속도와 관련된 에너지이므로 관계식을 가지므로 둘의 식을 연립하여 thermal velocity를 알 수 있다.
이므로 thermal velocity는 다음과 같이 유도할 수 있다.
- Net thermal velocity = 0
Net thermal velocity(순열속도)는 입자들이 열에 의해 움직이는 속도의 평균적인 속도이다.
열 운동으로 인해 입자들은 무작위로 움직이지만 평균적으로 보면 한 방향으로의 순 운동은 0이 된다.
- Mean free time(평균 자유 시간)
Mean free time은 입자가 다른 입자와 충돌하기 전까지 평균적으로 움직일 수 있는 시간을 의미한다. 충돌이 일어나기 전까지 입자는 일정한 속도로 움직이며 이 시간이 Mean free time이다.
thermal velocity가 크면 입자들은 빠르게 움직이며 이로 인해 충돌이 더 자주 발생해 Mean free time이 짧아진다.
electron은 평균적으로 10^(-13)s 정도의 짧은 mean free time을 가진다.
- 예제: 실온에서 전자와 정공의 thermal velocity
3. 외부 전기장에 의해 전자가 서서히 이동하는 현상! Drift!
- Drift란?
Drift(드리프트)는 electorn이나 hole과 같은 carrier들이 외부 전기장의 영향을 받아 한쪽 방향으로 서서히 이동하는 현상이다.
이 때, Thermal Motion도 동시에 발생하여 입자들끼리 충돌은 발생하나 외부 전기장의 영향으로 전체적으로는 한쪽 방향으로 순 이동하게 된다.
- Drift 속도를 유도해보자!
- 이 때! Drift velocity는 mobility와 전기장의 곱으로 표현할 수 있다!
전기장에서 carrier가 받는 힘과 뉴턴의 제 2 법칙을 이용하여 drift velocity를 구할 수 있었다. 이 때 전기장 앞의 계수를 mobility 즉, carrier의 이동도로 나타낼 수 있다.
* mobility(이동도) *
mobility(이동도)는 carrier가 외부 전기장 내에서 해당 물질 내의 carrier가 얼마나 빠르게 이동할 수 있는지를 나타낸 척도이다.
* electron의 mobility가 hole의 mobility보다 높은 이유! *
유효질량이 전자가 더 작기 때문이다!
유효질량이 홀이 더 큰 이유는 전자는 원자핵 주위를 여러 위치에서 분포하고 있으며 전자의 움직임에 따라 전자 구름이 형성되는 반면, 홀은 결핍 상태로 존재하기 때문에 주로 주변의 전자들과의 상호작용에 의해 영향을 받는다.
즉, 전자는 원자핵과의 상호작용에서 주로 영향을 받고, 홀은 주변 전자와의 상호작용에서 영향을 받는 것이다!
그렇기 때문에 전자의 유효질량은 작고 이동도가 높으며 홀의 유효질량은 상대적으로 크고 이동도가 낮아지는 결과가 나타난다.
- 예제: hole의 속도, mean free time, mean free path 구하기
mean free path 구할 때는 thermal velocity를 곱한다.
4. mobility에 영향을 미치는 요소는 더 있다! phonon과 impurity!
mobility와 관련된 공식은 기본적으로 전하량과 mean free time의 곱을 유효질량으로 나눈 값으로 표현되는데 phonon(포논)과 impurity(불순물)는 mobility가 변하게 할 수 있는 중요한 요소이다.
참고로 phonon과 impurity로 인한 scattering(산란)은 τ(mean free time)을 줄이는 방향으로 작용한다.
- Phonon scattering이란?
- Phonon이란?
Phonon은 사실 입자가 아니라 결정 격자의 진동에 의해서 생기는 에너지를 양자화된 단위로 표현한 것이다. 즉, 격자의 진동의 에너지를 함수로 표현한 것이 아닌 입자로 표현함으로써 간단히 계산하기 위함에 만들어졌다.
- Phonon과 온도의 관계
온도가 상승하면 격자 진동이 더 활발해진다. 이는 Phonon으로 설명하면 phonon의 수가 증가한다고 할 수 있다. 그러 인해 phonon은 carrier와 충돌할 가능성이 높아지며 이러한 충돌은 carrier의 운동을 방해한다.
- phonon scattering
carrier가 격자 내에서 이동할 때 phonon과의 충돌로 인해 carrier의 속도와 방향이 바뀌게 된다. 이런 충돌은 carrier의 mean free time을 줄여 mobility를 감소시키는 결과를 가진다.
- Impurity scattering이란?
- impurity란?
반도체 물질에 doping된 impurity 원소는 donor 원소, acceptor 원소이다. impurity는 electorn혹은 hole의 농도를 변화시킨다.
- 온도와 상호작용
온도가 상승함에 따라 carrier의 Thermal motion은 증가하게 된다. 그로 인해 carrier가 가지는 속도는 빨라져 impurity와 상호작용할 시간이 줄어든다.
- impurity scattering
carrier는 impurity 원소와의 충돌로 인해 방향이 바뀌거나 에너지를 잃게 된다. 이러한 충돌은 carrier의 mean free time을 줄여 mobility에 직접적인 영향을 미친다.
- scattering 강도
impurity 농도가 높을수록 충돌이 증가하여 mobility가 더 감소한다. 특히 저온에서 impurity scattering이 주요한 mobility 감소의 원인이 된다.
즉, 온도가 낮을수록 impurity를 doping한 농도가 많을수록 impurity scattering의 정도가 강해진다.
- Phonon scattering과 Impurity scattering이 합해져 하나의 mobility를 이룬다!!
두 개의 독립적인 phonon scattering과 impurity scattering을 통해 하나의 mobility를 나타낼 수 있으며 이를 조화 평균을 사용한다.
- 독립적인 scattering
phonon과 impurity는 각각의 carrier의 이동에 독립적으로 영향을 미친다. carrier는 두 종류의 산란을 동시에 경험하여 이로인해 carrier가 결정된다.
- 조화 평균의 적용
조화 평균은 두 개의 독립적인 메커니즘이 carrier의 이동에 미치는 영향을 수학적으로 통합할 수 있게 해준다. 또한 두 scattering은 mobility를 구성하는 요소 중 mean free time에 크게 영향을 미치므로 식을 다음과 같이 정리할 수 있다.
- 그림으로 확인하는 두 개의 scattering 과정
- doping concentration에 따른 mobility
mobility가 도핑 농도에 반비례하여 감소하는 것을 확인할 수 있다.
도핑 농도가 높아질수록 mobility가 반비례 관계보다 훨씬 줄어드는 이유는 screening effect 때문이다.
screening effect란 doping된 impurity 원소에 의해 생성된 전기장이 서로 상쇄되어 carrier의 이동에 대한 저항을 증가시키기 때문에 이는 mobility가 감소하게 된다.
- doping concentration와 온도에 따른 mobility
1) 온도가 높을수록 phonon scattering이 강해져 mobility 감소
2) 온도가 낮을수록 impurity scattering이 강해져 mobility 감소
3) 온도가 낮지만 impurity 농도가 낮아 impurity scattering은 미미하게 나타나나 phonon scattering을 나타나는 것을 확인
마지막으로 정리하여, mobility는 전하량과 mean free time을 곱한 뒤 유효 질량으로 나눈 값이다. mobility는 전기장 내에서 물질 내에서 하나의 carrier에 대해 얼마나 빠르게 이도하는지를 나타낸 값이다. 이 mobility는 온도와 doping 농도에 의해 영향을 받는데 각각 phonon scattering, impurity scattering에 의해 설명된다. 두 scattering은 mean free time에 영향을 주며, doping 농도가 높을수록, 온도가 낮아도 mobilty가 감소하며 온도가 높아도 mobility가 감소한다.
5. drift velocity를 알았으면 drift current와 conductivity를 알 수 있다!!
전기장이 흐르는 반도체 내에서 carrier로 인해 흐르는 전류와 전류 밀도에 대해서 유도해보자. 여기서 전류 밀도로 구하는 이유는 변화하는 면적에 대해 고려할 수 있기 때문이다.
- drift current 증명!
반도체 내에 있는 carrier의 농도를 구하고 이에 전하량을 구해 시간과 면적에 대해 나눠 전류 밀도를 구하는 방식으로 해보자.
- 전류 밀도는 전하 carrier의 개수, 전하량, carrier의 drift velocity가 곱해진 값이다.
전류 밀도는 단위 면적당 단위 시간에 흐르는 전류를 나타낸다. 이는
이와 같은 식으로 전개될 수 있고 하나의 carrier뿐만 아니라 모든 캐리어의 전하량과 속도를 곱한 값이다. 물론 전자의 농도이기 때문에 전류가 아닌 전류 밀도가 나온다.
- 증명과 반대로 전류 밀도에 면적을 곱하면 전류, 면적과 시간을 곱하면 총 전하량이 된다.
전류 밀도는 말 그대로 전자와 정공의 밀도에 대해 전하량을 곱하고 속도를 곱한 것이다. 그러므로 면적을 곱하면 면적에 밀도를 곱한 것이므로 개수가 나와 전류가 된다. 이후 시간에 대해 곱하면 총 전하량이 된다.
- 전기 전도성은 전기장 내에서 모든 캐리어의 이동도와 농도를 반영한 값이다.
Conductivity는 전기장이 흐르는 물질 내에서 모든 carrier들이 전기장에 반응하여 얼마나 쉽게 전하를 옮길 수 있는지를 나타낸다.
mobility: carrier 하나가 전기장이 흐르는 물질 내에서 얼마나 빠른 속도를 가지는가?
conductivity: 전기장이 흐르는 물질 내의 모든 carrier가 얼마나 빠른 속도로 전하를 옮길 수 있는가?
* conductivity에 전하량이 붙은 이유! *
mobility는 carrier의 속도만을 나타낸다. 하지만 Conductivity는 전하가 흐르는 양을 포함한 전체적인 전류 흐름을 나타내기 위해 mobility 외에 전하량도 고려해야 한다.
- conductivity는 electron와 hole 각각의 기여를 모두 반영하여 나타낼 수 있다!
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