#17 Review of Z-transform and Difference Equations (3) - Properties and stability

1. Difference Equations

1.1. Difference Equation의 기원

Difference Equations은 시스템의 입력과 출력의 관계를 수학적으로 모델링한 것이다.

1.1.1. 다양한 종류의 시스템의 표현

- 현재 입력을 바탕으로 출력 결정

현재 입력 신호를 처리하여 즉각적인 출력을 생성하는 시스템을 말한다.

y[n] = x[n]

- 과거 출력을 재사용하여 출력 결정(Feedback)

과거 출력 값을 활용해 현재 출력을 결정하는 시스템이다. (e.g. 온도 조절기)

y[n]=0.8y[n−1]+0.2x[n] 

(0.8y[n−1]: 이전 조절 결과(Feedback), 0.2x[n]: 현재 환경 온도(Input))

1. Feedback: 과거 출력 값을 활용해 현재 출력을 결정하는 것
2. 예시: 온도 조절기는 이전 온도 조절 결과를 바탕으로 현재 온도를 조절할 수 있다.
3. 더 오래된 출력 y[n−2], y[n−3], …를 포함할 수도 있다.

- 과거 입력과 출력 모두를 재사용

과거의 입력 값뿐만 아니라 과거의 출력 값들까지 결합하여 더 정교한 출력을 생성할 수 있다.

y[n]=0.5y[n−1]+x[n]+0.3x[n−2]

 

1.2. Difference Equation의 형태가 나타내는 것

1.3. Difference Equation과 Z-Transform

1.3.1. Z-transform of y[n]

z변환을 사용하면 difference equation의 복잡한 계산을 간단한 대수 방정식으로 변환할 수 있다.

1.3.2. Trans function

위 방정식을 재정렬하여 시스템의 전달함수를 구할 수 있다.

2. Poles and Zeros

2.1. Poles(극점)

Poles는 Trans function의 분모(Denominator)가 0이 되는 z의 값이다.

 

Poles의 위치는 시스템이 안정한지 불안정한지를 나타낸다. 

• 안정한 시스템: 모든 Pole이 단위원 안쪽에 있어야 한다. (∣z∣<1)
• 불안정한 시스템: 단위원 밖에 Pole이 하나라도 존재한다. (∣z∣≥1)

- 예제

3. Stability

시스템이 안정성을 확인하려면 poles 즉, 전달함수의 denominator polynomial의 근이 z-plane에서 단위원 내부에 위치해야 한다. 대표적인 방법으로 Schur-Cohn(슈어-콘) test가 있다. 예시를 통해 알아보자.

3.1. 예시를 통한 Schur-Cohn test 파악

교수님, 분명 재귀적인 이 방정식 안 외워도 예시 보면서 알 수 있다고 하셨는데 그 규칙성이 뭔지 잘 모르겠습니다. 이 식이 어디서 나온 건지도 모르겠습니다.

- 실제 값이 주어진 경우

 

- 값이 미지수인 경우